Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=λa_n-1+1，（λ≠1，n≥2且n∈N*）．
（Ⅰ）求证：当λ≠0时，数列{an+

1

λ-1

}为等比数列；
（Ⅱ）如果λ=2，求数列{na_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）如果[a_n]表示不超过a_n的最大整数，当λ=

2

+1时，求数列{[（λ-1）a_n]}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的概念及简单表示法,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当λ≠0，1时，设bn=an+

1

λ-1

，由于a_n=λa_n-1+1，可得当n≥2时，

bn

bn-1

=λ为常数．即可证明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 λ=2时，{a_n+1}为首项为2，公比为2的是等比数列，可得a_n+1=2ⁿ，即na_n=n•2ⁿ-n．再利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：a_n=

λn-1

λ-1

．设c_n=（λ-1）a_n=λⁿ-1=(

2

+1)n-1，由二项式定理可知：(

2

+1)n+(-

2

+1)n为整数，即可得出．

解答： （Ⅰ）证明：当λ≠0，1时，设bn=an+

1

λ-1

，
∵a_n=λa_n-1+1，
∴当n≥2时，

bn

bn-1

=

an+ 1 λ-1

an-1+ 1 λ-1

=

λan-1+1+ 1 λ-1

an-1+ 1 λ-1

=λ为常数．
∵a1+

1

λ-1

=

λ

λ-1

≠0，
∴数列{an+

1

λ-1

}为等比数列，首项为

λ

λ-1

，公比为λ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 λ=2时，{a_n+1}为首项为2，公比为2的是等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
na_n=n•2ⁿ-n．
设A_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
则2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹．
相减得-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1=

2×(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴An=(n-1)×2n+1+2．
设B_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
则S_n=A_n-B_n=(n-1)×2n+1+2-

n(n+1)

2

．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：an=

λ

λ-1

•λn-1-

1

λ-1

=

λn-1

λ-1

．
设c_n=（λ-1）a_n=λⁿ-1=(

2

+1)n-1，
由二项式定理可知：(

2

+1)n+(-

2

+1)n为整数，
∴[c_n]=

( 2 +1)n+(- 2 +1)n-2，n=2k ( 2 +1)n+(- 2 +1)n-1，n=2k-1

，（k∈N^*）．
∴[c_n]=(

2

+1)n+(-

2

+1)n-

3

2

-

(-1)n

2

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、“取整函数的性质”、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．