Question

11．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=2x³-3x²+$\frac{3}{2}$，则g（$\frac{1}{100}$）+g（$\frac{2}{100}$）+…+g（$\frac{99}{100}$）=（　　）

• A． 100
• B． 99
• C． 50
• D． 0

Answer 1

分析 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（$\frac{1}{2}$，1）对称，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到结论．

解答 解：∵g（x）=2x³-3x²+$\frac{3}{2}$，
∴g′（x）=6x²-6x，g″（x）=12x-6，
令g″（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2}$，
而g（$\frac{1}{2}$）=1，
故函数g（x）关于点（$\frac{1}{2}$，1）对称，
∴g（x）+g（1-x）=2，
∴g（$\frac{1}{100}$）+g（$\frac{2}{100}$）+…+g（$\frac{99}{100}$）
=g（$\frac{1}{100}$）+g（$\frac{99}{100}$）+g（$\frac{2}{100}$）+g（$\frac{98}{100}$）+…+g（$\frac{49}{100}$）+g（$\frac{51}{100}$）+g（$\frac{1}{2}$）
=2×49+1=99，
故选：B．

点评 本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．