Question

19．函数y=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+4x}$（x＞0）的最小值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 令x+1=t（t＞1），则y=$\frac{{t}^{2}}{{t}^{2}+2t-3}$=$\frac{1}{1+\frac{2}{t}-\frac{3}{{t}^{2}}}$，运用配方法，即可得到所求最小值．

解答 解：y=$\frac{（x+1）^{2}}{{x}^{2}+4x}$，
令x+1=t（t＞1），
则y=$\frac{{t}^{2}}{{t}^{2}+2t-3}$=$\frac{1}{1+\frac{2}{t}-\frac{3}{{t}^{2}}}$
=$\frac{1}{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）+\frac{4}{3}}$，
当$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{3}$，即t=3，即x=2时，取得最小值$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和配方法，考查运算能力，属于中档题．