Question

16．已知函数$f（x）=alnx+\frac{{2{a^2}}}{x}+x（{a∈R}）$．
（1）当a=1时，讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）若对任意m，n∈（0，2）且m≠n，有$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}＜1$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）令g（x）=f（x）-x=alnx+$\frac{{2a}^{2}}{x}$，通过讨论m，n的大小，得到g（x）在（0，2）上单调递减，通过讨论a的范围，确定函数g（x）的单调性，从而确定a的具体范围即可．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
a=1时，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$+x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$+1=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）若m＞n，由$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}＜1$，
得f（m）-m＜f（n）-n
若m＜n，由$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}＜1$，
得f（m）-m＞f（n）-n
令g（x）=f（x）-x=alnx+$\frac{{2a}^{2}}{x}$，
g′（x）=$\frac{a（x-2a）}{{x}^{2}}$（x＞0）
∵g（x）在（0，2）上单调递减，
∴①当a=0时，g′（x）=0，不符合题意；
②当a＞0时，由g′（x）＜0得0＜x＜2a，
所以g（x）在（0，2a）上递减，
所以2≤2a，即a≥1；
③当a＜0时，在（0，+∞）上，都有g′（x）＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上递减，即在（0，2）上也单调递减，
综上，实数a的取值范围为（-∞，0）∪[1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．