Question

已知函数f（x）=

1

2

x2+alnx，g（x）=（a+1）x．
（Ⅰ）若直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线时，求实数a的值；
（Ⅱ）当x∈[

1

e

，e]时（其中无理数e=2.71828…），f（x）≤g（x）恒成立，试确定实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当切点不知时，需要设切点，然后分别代入f（x），f′（x） 解得；
（Ⅱ）求参数的取值范围．转化为利用导数求最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）设切点为P（x₀，y₀）（x₀＞0），由题意得：

f′(x0)=a+1 f(x0)=(a+1)x0

，即

x0+ a x0 =a+1               (1) 1 2 x 2 0 +alnx0=(a+1)x 0   (2)

，
由（1）解得x₀=1或

x

0

=a．
将x₀=1代入（2）得：a=-

1

2

．
将

x

0

=a代入（2）得：lna=

a

2

+1  （3），
设h(x)=(

x

2

+1)-lnx，则h′(x)=

x-2

2x

，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，h（x）_最小值=h（2）=2-ln2＞0，
∴方程（3）无实数解．
∴a=-

1

2

．
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得：a(x-lnx)≥

1

2

x2-x（4），
由(x-lnx)′=

x-1

x

知：x-lnx在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x-lnx的最小值为1-ln1=1＞0，
∴不等式（4）可化为：a≥

1 2 x2-x

x-lnx

；
设t(x)=

1 2 x2-x

x-lnx

，x∈[

1

e

，e]，
∴t′(x)=

(x-1)(x-lnx)-(1- 1 x )( 1 2 x2-x)

(x-lnx)2

=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx)

(x-lnx)2

当x∈（1，e]时，x-1＞0，  由(I)知

1

2

x+1-lnx＞0，
∴以t'（x）＞0；
当x∈[

1

e

，1）时，x-1＜0，  由(I)知

1

2

x+1-lnx＞0，
∴以t'（x）＜0；
∴以t（x）在[

1

e

， 1]上单调递减，在[1，e]上单调递增，
∴t(x)最大值=max{t(

1

e

)， t(e)}，
又t(

1

e

)=

1-2e

2e(e+1)

，t(e)=

e2-2e

2(e-1)

，t(

1

e

)-t(e)=

e(-e3+e2+3)-1

2e(e+1)(e-1)

，
又e=2.718…，
∴-e³+e²+3＜0，
∴t(x)最大值= t(e)=

e2-2e

2(e-1)

，
∴当x∈[

1

e

，e]时，f（x）≤g（x）恒成立时实数a的取值范围是[

e2-2e

2(e-1)

， +∞)．

点评：本题考查了函数的切线方程，利用导数求最值得问题，培养了转化思想，方程思想．