Question

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知S₃=a₇，a₈-2a₃=3．
（Ⅰ）求a_n．
（Ⅱ）设b_n=

1

Sn

，数列{b_n}的前n行和记为T_n，求证：T_n＞

3

4

-

1

n+1

（n∈N^*）

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)由此利用错位相减法求出列{b_n}的前n行和T_n，由此能证明T_n＞

3

4

-

1

n+1

（n∈N^*）．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
由题得

3a1+3d=a1+6d (a1+7d)-2(a1+2d)=3

，…（3分）
解得a₁=3，d=2…（5分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，Sn=na1+

n(n-1)

2

d=n(n+2)…（8分）
∴bn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)…（10分）
∴Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)…（12分）
∴Tn=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＞

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+1

)=

3

4

-

1

n+1

，
∴T_n＞

3

4

-

1

n+1

（n∈N^*）…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．