Question

将函数f（x）=

2

sin2x+

6

cos2x的图象向右平移

π

4

个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍得到函数y=g（x）的图象，下面结论正确的是（　　）

• A、函数y=g（x）在[0，

  π

  2

  ]上是单调递减函数
• B、函数y=g（x）图象的一个对称中心为（

  π

  2014

  ，0）
• C、函数y=g（x+φ）为偶函数时，其中一个φ=-

  π

  3

• D、函数y=g（x）图象关于直线x=

  3π

  4

  对称

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：高考数学专题,三角函数的图像与性质

分析：利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，利用函数的平移伸缩变换推出函数的解析式，然后判断函数的奇偶性，对称性、单调性即可得到选项．

解答： 解：函数f（x）=

2

sin2x+

6

cos2x=2

2

sin（2x+

π

3

）．
函数f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，得到f（x）=2

2

sin[2（x-

π

4

）+

π

3

]═2

2

sin（2x-

π

6

）．
再把横坐标扩大到原来的2倍得到函数y=g（x）=2

2

sin（x-

π

6

）．
函数y=g（x）在[0，

π

2

]上是单调递增函数，A不正确；
x=

π

2014

时，g（x）=2

2

sin（x-

π

6

）≠0．
∴函数y=g（x）图象的一个对称中心为（

π

2014

，0），不正确；
函数y=g（x+φ）为偶函数时，其中一个φ=-

π

3

，正确；
x=

3π

4

时，g（x）=2

2

sin（x-

π

6

）≠±2

2

，函数y=g（x）图象关于直线x=

3π

4

对称，不正确；
故选：C．

点评：本题考查三角函数的化简求值，三角函数的基本性质的应用，考查计算能力．