Question

设数列{a_n}的前n项的和为S_n．已知a₁=6，a_n+1=3S_n+5ⁿ，n∈N^*．
（1）设b_n=S_n-5ⁿ，求数列{b_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}中是否存在不同的三项，它们构成等差数列？若存在，请求出所有满足条件的三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n+1=S_n+1-S_n，且an+1=3Sn+5n，可得Sn+1=4Sn+5n，把Sn=bn+5n代入，可得数列{b_n}是首项为b₁=S₁-5=1，公比为4的等比数列，即可求数列{b_n}的通项公式；
（2）假设数列{b_n}中存在任意三项a_i，a_j，a_k成等差数列，利用数列{b_n}单调递增，建立等式，即可得出结论．

解答： 解：因为a_n+1=S_n+1-S_n，且an+1=3Sn+5n，所以Sn+1=4Sn+5n，…（2分）
把Sn=bn+5n代入得b_n+1=4b_n，…（3分）
所以数列{b_n}是首项为b₁=S₁-5=1，公比为4的等比数列，所以bn=4n-1．…（5分）
（2）假设数列{b_n}中存在任意三项a_i，a_j，a_k成等差数列．…（6分）
不妨设i＞j＞k≥1，由于数列{b_n}单调递增，所以2a_j=a_i+a_k，所以2•4^j-1=4^i-1+4^k-1，…（9分）
因此2•4^i-k=4^j-k+1，此时左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，…（13分）
所以数列{b_n}中不存在不同的三项，它们构成等差数列．…（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查等比数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．