题目内容
在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（2b+c）cosA+acosC=0
（1）求角A的大小：
（2）求2
cos2
-sin（
-B）的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．
（1）求角A的大小：
（2）求2
| 3 |
| C |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：（1）由条件利用正弦定理化简可得sinB（2cosA+1）=0，求得cosA的值，可得A的值．
（2）由条件求得0＜C＜
，化简2
cos2
-sin（
-B）为
+2sin(C+
)，再利用正弦函数的定义域和值域求得2
cos2
-sin（
-B）的最大值，并求取得最大值时角B，C的值．
（2）由条件求得0＜C＜
| π |
| 3 |
| 3 |
| C |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| C |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
解答：
解：（1）∵（2b+c）cosA+acosC=0?，
∴2bcosA+ccosA+acosC=0，
再由正弦定理可得 2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC=0，
即2sinBcosA+sin（C+A）=0，
∴sinB（2cosA+1）=0，
在△ABC中，sinB≠0，
∴2cosA+1=0，即cosA=-
?，
又0＜A＜π，
∴A=
π．
（2）∵A=
，∴B=
-C，0＜C＜
．
∵2
cos2
-sin(
-B)=2
×
+sin(
-B)=
+2sin(C+
)，
∵0＜C＜
，∴
＜C+
＜
，
∴当C+
=
，2
cos2
-sin(
-B)取最大值
+2，
此时B=C=
．
∴2bcosA+ccosA+acosC=0，
再由正弦定理可得 2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC=0，
即2sinBcosA+sin（C+A）=0，
∴sinB（2cosA+1）=0，
在△ABC中，sinB≠0，
∴2cosA+1=0，即cosA=-
| 1 |
| 2 |
又0＜A＜π，
∴A=
| 2 |
| 3 |
（2）∵A=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵2
| 3 |
| C |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
| 3 |
| 1+cosC |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵0＜C＜
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴当C+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| C |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
| 3 |
此时B=C=
| π |
| 6 |
点评：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，已知cos
=
，则cos
=（ ）
| A+B |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| C |
| 2 |
A、-
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、-
|
下列函数中，既是偶函数，又在区间[-1，0]上是减函数的是（ ）
| A、y=cosx |
| B、y=x2 |
| C、y=log2x |
| D、y=ex-e-x |
