题目内容

一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船的静水速度
v1
=10km/h，水流速度
v2
=2km/h．要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小．此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时．
请计算上面三种情况，是否当船垂直于对岸行驶时，与水流成直角时，所用时间最短．
考点：向量的加法及其几何意义
专题：平面向量及应用
分析：设船行驶的方向与水流所成的角为α，则船速
v1
在垂直水流方向上的分量为sinα
v1
，分别讨论α为钝角，锐角，直角的情况，最后综合正弦函数的图象和性质，可得答案．
解答： 解：设船行驶的方向与水流所成的角为α，
则船速
v1
在垂直水流方向上的分量为sinα
v1
，
当α为钝角时，sinα
v1
＜
v1
；
当α为锐角时，sinα
v1
＜
v1
；
当α为直角时，sinα
v1
=
v1
；
故当船垂直于对岸行驶时，与水流成直角时，所用时间最短
点评：本题考查的知识点是向量在实际中的应用，其中正确理解船速
v1
在垂直水流方向上的分量为sinα
v1
，是解答的关键．
练习册系列答案
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命题p：?x∈R，x2-2x+
∫
1
0
e2xdx＞0，则（　　）
A、p是真命题，￢p：?x∈R，x2-2x+
∫
1
0
e2xdx≤0
B、p是假命题，￢p：?x∈R，x2-2x+
∫
1
0
e2xdx≤0
C、p是真命题，￢p：?x∈R，x2-2x+
∫
1
0
e2xdx≤0
D、p是假命题，￢p：?x∈R，x2-2x+
∫
1
0
e2xdx≤0
在△ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，如果∠A=35°，a=10，b=15，则此三角形有（　　）
A、一解B、两解
C、无解D、无穷多解
（1）函数y=a1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（m，n＞0）上，求
1
m
+
1
n
的最小值；
（2）若正数a，b满足ab=a+b+3，求ab的取值范围．
已知abc≠0，且a+b+c=a2+b2+c2=2，则代数式
(1-a)2
bc
+
(1-b)2
ca
+
(1-c)2
ab
的值为多少？
已知函数f（x）=
1
2
x2+alnx，g（x）=（a+1）x．
（Ⅰ）若直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线时，求实数a的值；
（Ⅱ）当x∈[
1
e
，e]时（其中无理数e=2.71828…），f（x）≤g（x）恒成立，试确定实数a的取值范围．
数列{an}的前n项和为Sn=2an-2，数列{bn}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）对于?n∈N*不等式
b1
a1
+
b2
a2
+
b3
a3
+…+
bn
an
＜m恒成立，求m取值范围．
为迎接中考体育测试，某校初三（1）班女生进行30秒跳绳测试，成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：
（1）求参加测试的人数n、测试成绩的中位数及成绩分别在[80，90），[90，100]内的人数；
（2）若从成绩在[80，100]内的学生中任选两人作为班级代表参加年级跳绳比赛，求恰好有一人成绩在[90，100]内的概率．
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+c2-
2
ac=b2．求角B．

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