Question

⊙A的方程为x²+y²-2x-2y-7=0，⊙B的方程为x²+y²+2x+2y-2=0，判断⊙A和⊙B是否相交．若相交，求过两交点的直线的方程及两交点间的距离；若不相交，说明理由．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定,圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：通过圆心距与半径的关系确定圆的方程；
两圆方程相减得到公共弦的直线方程，再由点到直线的距离公式求公共弦长．

解答： 解：由已知得⊙A的方程可写为（x-1）²+（y-1）²=9，
⊙B的方程可写为（x+1）²+（y+1）²=4，
∴两圆心之间的距离为：

(1+1)2+(1+1)2

=2

2

，满足3-2＜2

2

＜5，
即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差．
∴两圆相交．
⊙A的方程与⊙B的方程左、右两边分别相减得-4x-4y-5=0，
即4x+4y+5=0为过两圆交点的直线的方程．设两交点分别为C、D，则
CD：4x+4y+5=0．
点A到直线CD的距离为d=

|4×1+4×1×+5|

42+42

=

13

8

2

由勾股定理，得|CD|=2

rA2-d 2

=2

32- 169 32

=

238

4

．

点评：本题考查了两圆位置关系的确定以及点到直线的距离公式的运用；两圆相交时，公共弦所在的直线是两圆方程相减得到的方程．