Question

已知函数f（x）=sinxcosx-

3

sin²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[0，

π

2

]的值域；
（Ⅲ）能否把函数f（x）的图象进行适当的平移得到一个奇函数的图象？如果能，写出一个平移的方法；如果不能，请说明理由．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）求解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，得出单调区间．
（Ⅱ）运用

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，得出值域．
（Ⅲ）y=sin（2（x+θ）+

π

3

）是奇函数时，2θ+

π

3

=kπ，k∈Z，即θ=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，取θ=-

π

6

，再向上平移即可，主要是理解y=sin2x 是奇函数．

解答： 解；函数f（x）=sinxcosx-

3

sin²x=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
（Ⅰ）2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z，
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴-

3

≤f（x）≤1-

3

2

，
即在x∈[0，

π

2

]的值域[-

3

，1-

3

2

]
（Ⅲ）f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
∵y=sin（2（x+θ）+

π

3

）是奇函数时，
∴2θ+

π

3

=kπ，k∈Z，
即θ=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
取θ=-

π

6

，
∴f（x）向右平移

π

6

得出y=sin（2x）-

3

2

，
再向上平移

3

2

个单位，得出y=sin2x，
故f（x）向右平移

π

6

，再向上平移

3

2

个单位，得出y=sin2x，为奇函数．

点评：本题考查了三角函数的图象性质，运用不等式，性质求解值域，图象的平移，属于中档题，难度不大，但是考查了整个三角的综合题目．