Question

11．已知球O的半径为1，A，B是球面上的两点，且AB=$\sqrt{3}$，若点P是球面上任意一点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围是（　　）

• A． [$-\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$]
• B． [$-\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• C． [0，$\frac{1}{2}$]
• D． [0，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 建立空间坐标系，设出A，B的坐标，设P（x，y，z），用x，y，z表示出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$，根据x，y的范围求出答案．

解答 解：∵OA=OB=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴cos∠AOB=$\frac{1+1-3}{2×1×1}$=-$\frac{1}{2}$，即∠AOB=120°，
以球心O为原点，以平面AOB的垂线为竖轴建立空间坐标系，
设A（1，0，0），B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），P（x，y，z）
则$\overrightarrow{PA}$=（1-x，-y，-z），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{1}{2}$-x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-y，-z），且x²+y²+z²=1，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（1-x）（-$\frac{1}{2}$-x）-y（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-y）+z²=x²+y²+z²-$\frac{1}{2}$（x+$\sqrt{3}$y）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（x+$\sqrt{3}$y）．
∵P（x，y，z）是球上的一点，∴x²+y²≤1，
设m=x+$\sqrt{3}y$，则当直线x+$\sqrt{3}$y-m=0与圆x²+y²=1相切时，m取得最值，
∴$\frac{|m|}{2}$=1，∴-2≤m≤2，
∴当m=-2时，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$取得最大值$\frac{3}{2}$，当m=2时，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$取得最小值-$\frac{1}{2}$．
故选B．

点评 本题考查了向量的数量积运算，使用坐标法求解简化计算，属于中档题．