题目内容
已知双曲线x2-y2=1的焦点与椭圆
+
=1（a＞b＞0）的焦点重合，且该椭圆的长轴长为4，M、N是椭圆上的动点．
（1）求椭圆标准方程；
（2）设动点P满足：
=
+2
，直线OM与ON的斜率之积为-
，求证：存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值，并求出F1，F2的坐标；
（3）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴的射影为A，连接NA并延长交椭圆于点B，求证：以NB为直径的圆经过点M．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求椭圆标准方程；
（2）设动点P满足：
| OP |
| OM |
| ON |
| 1 |
| 2 |
（3）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴的射影为A，连接NA并延长交椭圆于点B，求证：以NB为直径的圆经过点M．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：向量与圆锥曲线
分析：（1）由双曲线方程求出双曲线的交点坐标，求得椭圆的半焦距，结合已知椭圆的长轴长求得a，则b可求，椭圆方程可求；
（2）设出P点M点及N点的坐标，由向量关系得到P、M、N的坐标关系，再由直线OM与ON的斜率之积为-
可得M、N的坐标关系，结合M、N在椭圆上可得P点的轨迹是椭圆，说明|PF1|+|PF2|为定值，并求出F1，F2的坐标；
（3）设出M与B的坐标，得到A，N的坐标，由题设知NA和NB的斜率相等，由此得到M与B的坐标的关系，然后结合M，B在椭圆上证出kMN•kMB+1=0，即kMN•kMB=-1，从而证得以NB为直径的圆经过点M．
（2）设出P点M点及N点的坐标，由向量关系得到P、M、N的坐标关系，再由直线OM与ON的斜率之积为-
| 1 |
| 2 |
（3）设出M与B的坐标，得到A，N的坐标，由题设知NA和NB的斜率相等，由此得到M与B的坐标的关系，然后结合M，B在椭圆上证出kMN•kMB+1=0，即kMN•kMB=-1，从而证得以NB为直径的圆经过点M．
解答：
（1）解：由题设可知：双曲线x2-y2=1的焦点为（±
，0），
∴椭圆中的c=
，
又由椭圆的长轴为4得 a=2，
故b2=a2-c2=2．
故椭圆的标准方程为：
+
=1；
（2）证明：设P（xp，yp），M（x1，y1），N（x2，y2），
由
=
+2
可得：
①
由直线OM与ON的斜率之积为-
可得：
=-
，即x1x2+2y1y2=0 ②
由①②可得：xP2+2yP2=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=(x12+2y12)+4(x22+2y22)．
∵M、N是椭圆上的动点，故x12+2y12=4，x22+2y22=4．
故xP2+2yP2=20，即
+
=1；
由椭圆定义可知存在两个定点F1(-
，0)，F2(
，0)，使得动点P到两定点距离和为定值4
；
（3）证明：设M（x1，y1），B（x2，y2），
由题设可知x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＞0，x1≠x2，A（x1，0），N（-x1，-y1），
由题设可知lAB斜率存在且满足kNA=kNB，∴
=
．③
kMN•kMB+1=
•
+1．④
将③代入④可得：kMN•kMB+1=
•
+1=
．⑤
点M，B在椭圆
+
=1，
故kMN•kMB+1=
=
=0．
∴kMN•kMB+1=0，kMN•kMB=-1，
∴MN⊥MB．
因此以NB为直径的圆经过点M．
| 2 |
∴椭圆中的c=
| 2 |
又由椭圆的长轴为4得 a=2，
故b2=a2-c2=2．
故椭圆的标准方程为：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 2 |
（2）证明：设P（xp，yp），M（x1，y1），N（x2，y2），
由
| OP |
| OM |
| ON |
|
由直线OM与ON的斜率之积为-
| 1 |
| 2 |
| y1y2 |
| x1x2 |
| 1 |
| 2 |
由①②可得：xP2+2yP2=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2=(x12+2y12)+4(x22+2y22)．
∵M、N是椭圆上的动点，故x12+2y12=4，x22+2y22=4．
故xP2+2yP2=20，即
| xP2 |
| 20 |
| yP2 |
| 10 |
由椭圆定义可知存在两个定点F1(-
| 10 |
| 10 |
| 5 |
（3）证明：设M（x1，y1），B（x2，y2），
由题设可知x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＞0，x1≠x2，A（x1，0），N（-x1，-y1），
由题设可知lAB斜率存在且满足kNA=kNB，∴
| y1 |
| 2x1 |
| y2+y1 |
| x2+x1 |
kMN•kMB+1=
| y1 |
| x1 |
| y2-y1 |
| x2-x1 |
将③代入④可得：kMN•kMB+1=
| 2(y2+y1) |
| x2+x1 |
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| (x22+2y22)-(x12+2y12) |
| x22-x12 |
点M，B在椭圆
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 2 |
故kMN•kMB+1=
| (x22+2y22)-(x12+2y12) |
| x22-x12 |
| 4-4 |
| x22-x12 |
∴kMN•kMB+1=0，kMN•kMB=-1，
∴MN⊥MB．
因此以NB为直径的圆经过点M．
点评：本题考查了椭圆方程的求法，训练了利用向量关系求得点的坐标之间的关系，解答此题的关键是设出所用点的坐标，充分利用点在椭圆上这一特性，通过整体代换化简，此类问题的解决需要学生具有较强的计算能力和逻辑推理能力，是高考试卷中的压轴题．
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