Question

已知数列{a_n}，S_n是其前n项的和，且满足a₁=2，对一切n∈N^*都有Sn+1=3Sn+n2+2成立，设b_n=a_n+n．
（1）求a₂；
（2）求证：数列{b_n} 是等比数列；
（3）求使

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＞

40

81

成立的最小正整数n的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）将n=2代入Sn+1=3Sn+n2+2即可求a₂；
（2）由Sn+1=3Sn+n2+2得到Sn=3Sn-1+(n-1)2+2两式相减即可得出a_n+1与a_n的关系，根据等比数列定义即可判断{b_n}是等比数列；
（3）利用等比数列求和公式，求出

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，解不等式即可．

解答： 解：（1）由a₁=2及Sn+1=3Sn+n2+2得，
当n=1时，S2=3S1+12+2，
即a₁+a₂=3a₁+3
解得，a₂=7．
（2）由Sn+1=3Sn+n2+2得
Sn=3Sn-1+(n-1)2+2
两式相减得，a_n+1=3a_n+2n-1，
∴a_n+1+（n+1）=3（a_n+n）
∵b_n=a_n+n，
∴b_n+1=3b_n．
∴{b_n}是以3为首项，3为公比的等比数列．
（3）由（2）得bn=3n，
∴

1

bn

=

1

3n

，
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)＞

40

81

，
∴3ⁿ＞81
解得n＞4，最小正整数n的值5．

点评：本题主要考查a_n=S_n-S_n-1的灵活应用，等比数列的定义以及求和公式的应用，解不等式等知识．属于中档题．