Question

18．已知函数f（x）=2lnx-3x²-11x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x-2恒成立，求整数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出切点，利用导数求出切线斜率，用点斜式写方程；
（2）关于x的不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x-2恒成立?2lnx-ax²-2ax+2x+2≤0恒成立．
令h（x）=2lnx-ax²-2ax+2x+2，（x＞0），h′（x）=$\frac{2}{x}-2ax-2x+2=\frac{-2（ax-1）（x+1）}{x}$，
分当a≤0，a＞0时讨论即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2}{x}-6x-11$，f′（1）=-15，f（1）=-14，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-（-14）=-15（x-1），即15x+y-1=0为所求．
（2）关于x的不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x-2恒成立?2lnx-ax²-2ax+2x+2≤0恒成立．
令h（x）=2lnx-ax²-2ax+2x+2，（x＞0），h′（x）=$\frac{2}{x}-2ax-2x+2=\frac{-2（ax-1）（x+1）}{x}$，
当a≤0时，h′（x）＞0恒成立，h（x）在（0，+∞）递增，x→+∞时，h（x）→+∞，不符合题意．
当a＞0时，∈（0，$\frac{1}{a}$）h′（x）＞0，x∈（$\frac{1}{a}，+∞$）h′（x）＜0，
故h（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}，+∞$）递减，h（x）_max=h（$\frac{1}{a}$）=-2lna+$\frac{1}{a}$≤0，a=1符合题意；
整数a的最小值为1

点评 本题考查了导数的综合应用，属于中档题．