Question

已知圆心为C的圆经过点A（-1，1）和B（-2，-2），且圆心在直线l：x+y-1=0上．
（1）求圆心为C的圆的标准方程；
（2）若直线kx-y+5=0被圆C所截得的弦长为8，求k的值；
（3）设点P在圆C上，点Q在直线l：x-y+5=0上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，利用圆经过点A（-1，1）和B（-2，-2），且圆心在直线l：x+y-1=0上，建立方程组，求出a，b，r，即可得出圆心为C的圆的标准方程；
（2）根据直线kx-y+5=0被圆C所截得的弦长为8，求出圆心C到直线kx-y+5=0的距离，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求k的值；
（3）求出圆心C到直线x-y+5=0的距离，即可求|PQ|的最小值．

解答： 解：（1）设圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，则
∵圆经过点A（-1，1）和B（-2，-2），且圆心在直线l：x+y-1=0上，
∴

(-1-a)2+(1-b)2=r2 (-2-a)2+(-2-b)2=r2 a+b-1=0

，
∴a=3，b=-2，r=5，
∴圆的标准方程为（x-3）²+（y+2）²=25；
（2）由条件可知：圆心C到直线kx-y+5=0的距离为d=

52-42

=3．…（8分）
根据点到直线的距离公式得

|3k+2+5|

k2+1

=3，…（10分）
解得：k=-

20

21

．…（11分）
（3）∵圆心C到直线x-y+5=0的距离为d=

|3+2+5|

2

=5

2

＞5，…（12分）
∴直线与圆C相离，
∴|PQ|的最小值为d-r=5

2

-5…（14分）

点评：待定系数法是求圆的标准方程的重要方法，直线与圆的位置关系问题通常利用垂径定理解决．