Question

已知θ∈（π，

3π

2

），sin²θ-（

15

-

5

）sinθ•cosθ-5

3

cos²θ=0．
（1）求cosθ；
（2）若f（x）=

4 15

15

sinθ•cos²x-4

3

cosθ•sinx•cosx+

1

2

，求f（x）的最小正周期及单调递减区间．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）由题意利用三角函数的恒等变换求得tanθ的值，可得cosθ的值．
（2）（2）由（1）可得sinθ=-

15

4

，利用三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2x-

π

6

 ），令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范围，可得函数的减区间．

解答： 解：（1）∵θ∈（π，

3π

2

），则由 sin²θ-（

15

-

5

）sinθ•cosθ-5

3

cos²θ=0可得 tan²θ-（

15

-5）tanθ-5

3

=0，
求得tanθ=

15

，或 tanθ=-

5

（舍去），∴cosθ=-

1

4

．
（2）由（1）可得sinθ=-

15

4

，∴f（x）=

4 15

15

sinθ•cos²x-4

3

cosθ•sinx•cosx+

1

2

=

4 15

15

•（-

15

4

）cos²x-4

3

•（-

1

4

）sinxcosx+

1

2

=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

=sin（2x-

π

6

 ）．
故函数的周期为

2π

2

=π．
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，可得函数的减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的减区间，属于中档题．