Question

设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+

1

2

c=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,二倍角的余弦

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）由正弦定理化简可求得cosA=

1

2

，从而可求角A的大小；
（Ⅱ）化简可得y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）=sin（2B-

π

6

）+1，再求得

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，从而求出

3

2

＜sin(2B-

π

6

)+1≤2．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵acosC+

1

2

c=b，由正弦定理可得sinAcosC+

1

2

sinC=sinB
∴有2sinAcosC+sinC=2sin（A+C）
∴2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC
∴2cosAsinC=sinC，∵0＜sinC＜1，∴2cosA=1
∵0＜A＜

π

2

∴cosA=

1

2

，∴A=

π

3

（Ⅱ）y=1-cos2B+cos

π

3

cos2B+sin

π

3

sin2B=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1=sin（2B-

π

6

）+1
∵△ABC为锐角三角形
∴

B+ π 3 ＞ π 2 B＜ π 2

∴

π

6

＜B＜

π

2

∴

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

∴

1

2

＜sin(2B-

π

6

)≤1
∴

3

2

＜sin(2B-

π

6

)+1≤2

点评：本题主要考察了正弦定理的应用，二倍角的余弦，属于中档题．