Question

已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），x∈[-

π

2

，

π

2

]，
（1）求证：（

a

-

b

）⊥（

a

+

b

）；
（2）|

a

+

b

|=

1

3

，求2cosx的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：计算题,证明题,平面向量及应用

分析：（1）求出向量a，b的模，由向量垂直的条件，即可得证；
（2）由向量的平方即为模的平方，将原式两边平方，化简，再由向量的数量积公式，运用两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，即可得到．

解答： （1）证明：由于向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），
则|

a

|=|

b

|=1，
即有（

a

-

b

）•（

a

+

b

）=

a

2-

b

2=0，
则（

a

-

b

）⊥（

a

+

b

）；
（2）解：由于向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），
则|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

=cos2x，
由于|

a

+

b

|=

1

3

，
则

a

2+

b

2+2

a

•

b

=

1

9

，
即有2+2cos2x=

1

9

，
则2cos²x=

1

18

，
由于x∈[-

π

2

，

π

2

]，
则2cosx=

1

3

．

点评：本题考查平面向量及运用，考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查两角和的余弦公式，考查二倍角的余弦公式，考查运算能力，属于中档题．