Question

函数f（x）=2^x，对于20个数：a₁，a₂，…，a₁₀；b₁，b₂，…，b₁₀∈[0，1]，且满足：

10

i=1

f2(ai)=

10

i=1

f2(bi)，则

10 i=1 f(ai)•f(bi)

10 i=1 f2(ai)

的最小值是（　　）

• A、

  2

  5

• B、

  4

  5

• C、

  6

  5

• D、1

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：先考虑两个数的情况：m₁=2^a₁，m₂=2^a₂，n₁=2^b₁，n₂=2^b₂，由题意得，m₁²+m₂²=n₁²+n₂²=r²．m₁，m₂，n₁，n₂∈[1，2]，设

x1

=（m₁，m₂），

x2

=（n₁，n₂），运用向量的夹角公式，当取

x1

=（1，2），

x2

=（2，1），

(1，2)•(2，1)

12+22

=

4

5

≤cos＜

x1

，

x2

＞≤1．然后再推广，即可得到最小值．

解答： 解：先考虑两个数的情况：
m₁=2^a₁，m₂=2^a₂，n₁=2^b₁，n₂=2^b₂，
由题意得，m₁²+m₂²=n₁²+n₂²=r²．
m₁，m₂，n₁，n₂∈[1，2]，
设

x1

=（m₁，m₂），

x2

=（n₁，n₂），
则

f(a1)f(b1)+f(a2)f(b2)

f2(a1)+f2(a2)

=

m1n1+m2n2

m12+m22

，
=

x1 • x2

| x1 |•| x2 |

=cos＜

x1

，

x2

＞，
当取

x1

=（1，2），

x2

=（2，1），

(1，2)•(2，1)

12+22

=

4

5

≤cos＜

x1

，

x2

＞≤1．
推广：当

x1

=（1，1，2，2），

x2

=（2，2，1，1），
即有

2+2+2+2

12+12+22+22

=

4

5

≤cos＜

x1

，

x2

＞≤1．
…
当

x1

=（1，1，1，1，1，2，2，2，2，2），

x2

=（2，2，2，2，2，1，1，1，1，1），
即有

2+2+…+2

12+12+…+22

=

4

5

≤cos＜

x1

，

x2

＞≤1．
则所求的最小值为

4

5

．
故选B．

点评：本题考查柯西不等式及运用，考查运用向量的方法，求最值，注意先从最简单的情况考虑，考查运算能力，属于中档题．