题目内容
设函数f（x）=ax2-lnx，其中a＞
．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设f（x）的最小值为g（a），证明函数g（x）没有零点．
| 1 |
| 2 |
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设f（x）的最小值为g（a），证明函数g（x）没有零点．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，解出即可；（2）由g（a）=f（x）min=f（
）=
-ln
，通过a的范围，从而得出答案．
| 1 |
| 2a |
| 1 |
| 4a |
| 1 |
| 2a |
解答：
解：（1）∵f′（x）=2ax-
=
，
令f′（x）＞0，解得：x＞
，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜
，
∴f（x）在（0，
）递减，在（
，+∞）递增；
（2）由（1）得：g（a）=f（x）min=f（
）=a•
-ln
=
（1+ln2a），
∵a＞
，∴ln2a＞0，∴g（a）＞0，
∴函数g（x）没有零点．
| 1 |
| x |
| 2ax2-1 |
| x |
令f′（x）＞0，解得：x＞
|
|
∴f（x）在（0，
|
|
（2）由（1）得：g（a）=f（x）min=f（
|
| 1 |
| 2a |
|
| 1 |
| 2 |
∵a＞
| 1 |
| 2 |
∴函数g（x）没有零点．
点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，是一道基础题．
练习册系列答案
相关题目
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，AD⊥AB，E是PC的中点，PA=BC=2AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．方程lgx+x=0在下列的哪个区间内有实数解（ ）
A、[-10，-
| ||
| B、（-∞，0] | ||
| C、[1，10] | ||
D、[
|
抛物线y=2x2上一点P到焦点的距离为1，则点P的坐标为（ ）
A、（
| ||||||
B、（
| ||||||
C、（-
| ||||||
D、（±
|