Question

已知函数f（x）=x³-3x．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）已知f（x）在[t，t+2]上是增函数，求t的取值范围；
（3）设f（x）在[t，t+2]上最大值M与最小值m之差为g（t），试求g（t）的解析式．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：本题（1）利用导函数值的正负，从而知道函数的单调区间，确定函数的极值；（2）利用（1）的结论，f（x）在[t，t+2]上是增函数，即区间[t，t+2]为增区间，得到t的取值范围；（3）通过分类讨论，确定的最值，从而用t表示它们的差，得到g（t）的解析式，即得到本题结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
∴当x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x=-1时，f′（x）=0，f（x）有极大值f（-1）=2；
当x=1时，f′（x）=0，f（x）有极小值f（1）=-2．
∴f（x）的极大值为2，极小值为-2．
（2）由（1）知：f（x）单调递增区间为（-∞，-1]，[1，+∞）．
∵f（x）在[t，t+2]上是增函数，
∴t+2≤-1或t≥1，
∴t≤-3或t≥1．
∴t的取值范围为：（-∞，-3]∪[1，+∞）．
（3）∵f（x）在[t，t+2]上最大值M与最小值m，
∴①当t+2≤-1，即t≤-3时，f（x）在区间[t，t+2]上单调递增，
∴M=f（t+2），m=f（t），
∴g（t）=M-m=f（t+2）-f（t）=（t+2）³-3（t+2）-（t³-3t）=6t²+12t+2；
②当t≤-1＜t+2，即-3＜t≤-1时，f（x）在区间[t，-1]上单调递增，在[-1，t+2]上单调递减，
∴M=f（-1）=2，
f（t+2）-f（t）=6t²+12t+2，
（i）当6t²+12t+2≥0，即-3＜t≤-

3+ 6

3

时，
∴m=f（t）=6t²+12t+2，
g（t）=M-m=-6t²-12t；
（ii）当6t²+12t+2＜0，即-

3+ 6

3

≤t≤-1时，
∴m=f（t+2）=t³+6t²+9t+2，
g（t）=M-m=-t³-6t²-9t；
③当-1＜t＜1时，1＜t+2＜3，
f（x）在区间[t，1]上单调递减，在[1，t+2]上单调递增，
∴m=f（1）=-2，
f（t+2）-f（t）=6t²+12t+2，
（i）当6t²+12t+2≥0，即

-3+ 6

3

≤t＜1时，
∴M=f（t+2）=t³+6t²+9t+2，
g（t）=M-m=t³+6t²+9t+4；
（ii）当6t²+12t+2＜0，即-1＜t＜

-3+ 6

3

时，
∴M=f（t）=6t²+12t+2；
g（t）=M-m=6t²+12t+4；
④当t≥1时，f（x）在区间[t，t+2]上单调递增，
∴M=f（t+2），m=f（t），
∴g（t）=M-m=f（t+2）-f（t）=（t+2）³-3（t+2）-（t³-3t）=6t²+12t+2．
综上，①当t≤-3时，g（t）=6t²+12t+2；
②当-3＜t≤-

3+ 6

3

时，g（t）=M-m=-6t²-12t；
③当-

3+ 6

3

≤t≤-1时，g（t）=M-m=-t³-6t²-9t；
④当-1＜t＜

-3+ 6

3

时，g（t）=M-m=6t²+12t+4；
⑤当

-3+ 6

3

≤t＜1时，g（t）=M-m=t³+6t²+9t+4；
⑥当t≥1时，g（t）=6t²+12t+2．

点评：本题考查了用导函数法研究函数的单调性、极值、最值，还考查了分类讨论的数学思想，本题运算量较大，属于难题．