Question

15．已知椭圆$\frac{x^2}{2}$+y²=1与直线y=x+m交于A、B两点，且|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，则实数m的值为（　　）

• A． ±1
• B． ±$\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． ±$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把y=x+m，代入x²+2y²=2，结合题设条件利用椭圆的弦长公式能求出m，即可．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{2}$+y²=1，即：x²+2y²=2，
l：y=x+m，代入x²+2y²=2，
整理得3x²+4mx+2m²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
|AB|=$\sqrt{2}$•|x₁-x₂|
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$$•\sqrt{（-\frac{4m}{3}）^{2}-\frac{8{m}^{2}-8}{3}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
可得m²=1，解得m=±1．
故选：A．

点评 本题考查椭圆弦长的求法，解题时要注意弦长公式，考查计算能力以及分析问题解决问题的能力．