Question

5．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知等式，利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，即可得解△ABC为等腰三角形．
（Ⅱ）由已知可求C=120°，BD=1，利用余弦定理可求AB，在△ABD中，利用余弦定理可求AD的值．

解答 解：（Ⅰ）∵asinC=csinB．
∴利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，
∴△ABC为等腰三角形．
（Ⅱ）如图所示：∵BC=AC，B=30°，BC=2，
∴C=120°，BD=1，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}-2•AC•BC•cosC}$=$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
∴△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}-2•AB•BD•cosB}$=$\sqrt{12+1-2×2\sqrt{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．