Question

已知过点A（0，b），且斜率为1的直线l与圆O：x²+y²=16交于不同的两点M、N．
（Ⅰ）求实数b的取值范围；
（Ⅱ）若|MN|=4

3

，求实数b的值；
（Ⅲ） 记集合A={（x，y）|x²+y²≤16}和集合B={（x，y）|x+y-4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为U，V，若在区域U内任取一点M（x，y），求点M落在区域V的概率．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,几何概型

专题：直线与圆,概率与统计

分析：（Ⅰ）利用圆心到直线的距离，小于半径，即可求实数b的取值范围；
（Ⅱ）利用弦心距半径半弦长满足勾股定理，通过|MN|=4

3

，即可求实数b的值；
（Ⅲ） 求出集合A={（x，y）|x²+y²≤16}和集合B={（x，y）|x+y-4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为U，V，利用几何概型直接求点M落在区域V的概率．

解答： 解：（ I）由已知，直线l的方程为：y=x+b，即x-y+b=0；
因为直线l与圆O：x²+y²=16交于不同的两点M、N，
所以圆心O到直线l的距离d小于圆O的半径，
即：

|b|

2

＜4，…（2分）
解得-4

2

＜b＜4

2

．…（4分）
（ II）由（I）得圆心O到直线l的距离d=

|b|

2

，
又弦|MN|=4

3

，圆O的半径为4，∴(

|b|

2

)2+(2

3

)2=42，…（7分）
解得b=±2

2

．…（9分）
（III）依题意，试验的全部结果构成的区域U是圆心在原点，半径为4的圆，
记事件C为“点M落在区域V”，所构成的区域V是腰长为4的等腰直角三角形，
这是一个几何概型，…（11分）
所以P（C）=

SV

SU

=

1 2 ×42

π×42

=

1

2π

，…（13分）
即在区域U内任取一点M，点M落在区域V的概率为

1

2π

．…（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，几何概型的应用，考查计算能力．