Question

已知函数f（x）=a1nx-ax-3（a≠0）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，那么实数m在什么范围取值时，函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（2，3）内总存在极值？
（3）求证：

1n2

2

×

1n3

3

×

1n4

4

×

1n5

5

×

1nn

n

＜

1

n

(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；
（2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f′（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：g′（1）＜0，g′（2）＜0，g′（3）＞0，于是可求m的范围．
（3）判断lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，进而可得0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，即可证得结论．

解答： （1）解：f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0），
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数．
（2）解：f′（2）=-

a

2

=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g（x）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴g′（t）＜0，g′（3）＞0  
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，∴存在-

37

3

＜m＜-9．
（3）证明：令a=-1此时f（x）=-lnx+x-3，所以f（1）=-2，
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N^*，则有0＜lnn＜n-1，
∴0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，
∴

ln2

2

×

ln3

3

×…×

lnn

n

＜

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n-1

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N^*）．

点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．