Question

若A₁，A₂，…，A_m为集合A={1，2，…，n}（n≥2且n∈N^*）的子集，且满足两个条件：
①A₁∪A₂∪…∪A_m=A；
②对任意的{x，y}⊆A，至少存在一个i∈{1，2，3，…，m}，使A_i∩{x，y}={x}或{y}．则称集合组A₁，A₂，…，A_m具有性质P．
如图，作n行m列数表，定义数表中的第k行第l列的数为a_ki=

1(k∈Ai) 0(k∉Ai)

a11	a12	…	a1m
a21	a22	…	a2m
?	?	?	?
an1	an2	…	anm

（Ⅰ）当n=4时，判断下列两个集合组是否具有性质P，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；
集合组1：A₁={1，3}，A2={2，3}，A3={4}；集合组2：A1={2，3，4}，A2={2，3}，A3={1，4}．
（Ⅱ）当n=7时，若集合组A₁，A₂，A₃具有性质P，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合A₁，A₂，A₃；
（Ⅲ）当n=100时，集合组A₁，A₂，…，A_t是具有性质P且所含集合个数最小的集合组，求t的值及|A₁|+|A₂|+…|A_t|的最小值．（其中|A_i|表示集合A_i所含元素的个数）

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）直接根据集合组的性质进行判断即可；
（Ⅱ）结合表格进行求解；
（Ⅲ）结合数列的求和公式进行求解．

解答： 解：（Ⅰ）集合组1具有性质P．
所对应的数表为：A₁={1，3}，A₂={2，3}，A₃={4}；
集合组2不具有性质P．
因为存在{2，3}⊆{1，2，3，4}，
有A₀：0，1，1，3，0，0，
与对任意的A₁：1，0，1，3，0，0，都至少存在一个A₂：2，1，2，0，0，0，有A₃：3，0，2，0，0，0或A₄：4，1，0，0，0，0矛盾，所以集合组A₅：5，0，0，0，0，0不具有性质A₄：4，0，0，0，0．
111111111111000000000
（Ⅱ）A₃：3，1，0，0，0．
（注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）
（Ⅲ）设A₂：2，0，2，0，0所对应的数表为数表A₁：1，1，2，0，0，
因为集合组A₀：0，0，1，3，0为具有性质A₀：a₀，a₁，…，a_n的集合组，
所以集合组a_k=0满足条件①和②，
由条件①：a_i＞0（0≤i≤k-1），
可得对任意T^-1，都存在T^-1有A₀，
所以{a_n}，即第a_i+i行不全为0，
所以由条件①可知数表i中任意一行不全为0．…
由条件②知，对任意的{a_n}，都至少存在一个P，使{a_n}或P，
所以{a_n}一定是一个1一个0，
即第{b_n}行与第{b_n}行的第b₁，b₂，b₃，…，b_n列的两个数一定不同．
所以由条件②可得数表a₁，a₂，a₃，…，a_n中任意两行不完全相同．
因为由{b_n}所构成的P元有序数组共有{a_n}个，去掉全是P的{a_n}元有序数组，共有n个，
又因数表Sn=

n

3

(n2-1)中任意两行都不完全相同，
又当满足条件P时，由{b_n}所构成的A元有序数组共有n个，去掉全是n∈[12，m²]（m≥5）的数组，共A个，
选择其中的P个数组构造n∈[m²+1，（m+1）²]行A列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P．
所以n≥2．
因为a_n=S_n-S_n-1等于表格中数字1的个数，
所以，要使=

n

3

(n2-1)-

n-1

3

[(n-1)2-1]=n2-n取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，
而a₁=0时，在数表an=n2-n(n∈N*)中，ai+i=i2(i=1，2，3，…)的个数为{a_n}的行最多P行；P的个数为{b_n}的行最多P行；P的个数为n=m²+j，1≤j≤2m+1的行最多（m+2）²-（m²+j）=4m+4-j行；h=4m+4-j-1的个数为1≤j≤2m+1，m≥5的行最多h=4m+4-j-1≥2m+2≥12行；
因为上述共有m²-h=m²-4m-4+j+1≥m²-4m-2行，
所以还有m²-4m-2=（m-2）²-6＞0行各有h＜m²个h∈[12，m²]，
所以此时表格中最少有n∈[12，m²]（m≥5）个{a_n}．
所以P的最小值为：4m+4．

点评：本题结合集合的知识，综合考查了数列的基本性质、数列的运算等知识，属于中档题．考查比较综合．