Question

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；
（Ⅱ） 当x≥1时，若关于x的不等式f （x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，进一步求得f′（1），再求出f（1）后由直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）由f （x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，分离参数a后构造函数g(x)=

ex+2x2-3x

x

，利用导数求其最小值后得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x+2x²-3x，得
f'（x）=e^x+4x-3，则f′（1）=e+1，
又f （1）=e-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程为：
y-e+1=（e+1）（x-1），
即：（e+1）x-y-2=0；
（Ⅱ）由f （x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，
∵x≥1，
∴a≤

ex+2x2-3x

x

令g(x)=

ex+2x2-3x

x

，则g′(x)=

(x-1)ex+2x2

x2

，
∵x≥1，
∴g'（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴g（x）_min=g（1）=e-1，
∴a的取值范围是a≤e-1．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求函数的最小值，训练了分离变量法求参数的取值范围，是中档题．