Question

已知首项为

1

2

的等比数列{a_n}是递减数列，其前n项和为S_n，且S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题设条件，利用等差数列和等比数列的性质能求出等比数列{a_n}的首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=a_nlog₂a_n=-n?（ 

1

2

）ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，由题知a₁=

1

2

，
又∵S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列，
∴2（S₂+a₂）=S₁+a₁+S₃+a₃，
变形得S₂-S₁+2a₂=a₁+S₃-S₂+a₃，即得3a₂=a₁+2a₃，
∴

3

2

q=

1

2

+q²，解得q=1或q=

1

2

，…（4分）
又由{a_n}为递减数列，得q=

1

2

，
∴a_n=a₁q^n-1=（ 

1

2

）ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）∵a_n=a₁q^n-1=（ 

1

2

）ⁿ，
∴b_n=a_nlog₂a_n=-n?（

1

2

）ⁿ，
∴Tn=-[1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n]，

1

2

Tn=-[1•(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1]，
两式相减得：

1

2

Tn=-[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1]
=-

1 2 •[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+n•(

1

2

)n+1，
解得Tn=

n+2

2n

-2．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要熟练掌握等差数列和等比数列的性质，注意错位相减求和法的合理运用．