Question

已知不等式|x+2|+|x-m|≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a²+2b²+3c²=m，求a+2b+3c的取值范围．

Answer 1

考点：柯西不等式在函数极值中的应用,绝对值不等式的解法

专题：选作题

分析：（Ⅰ）依题意，当x=1时不等式成立，可得3+|1-m|≤3，求出m的值，再检验即可；
（Ⅱ）根据柯西不等式，得(a+2b+3c)2≤(12+

2

2+

3

2)[a2+(

2

b)2+(

3

c)2]=6，从而可求a+2b+3c的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，当x=1时不等式成立，所以3+|1-m|≤3，解得m=1，
经检验，m=1符合题意．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a²+2b²+3c²=1．根据柯西不等式，
得(a+2b+3c)2≤(12+

2

2+

3

2)[a2+(

2

b)2+(

3

c)2]=6
所以-

6

≤a+2b+3c≤

6

，
当且仅当a=b=c=

6

6

时，取得最大值

6

，a=b=c=-

6

6

时，取得最小值-

6

，
因此a+2b+3c的取值范围是[-

6

，

6

]．

点评：本题考查绝对值不等式，考查柯西不等式，正确运用柯西不等式是关键．