Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x
（1）当a=1，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=1+•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x ．令t=•（

1

2

）^x ，由x＜0 可得t＞1，f（x）=h（t）=(t+

1

2

)2+

3

4

，再利用二次函数的性质得出结论．
（2）由题意可得当x≥0时，|f（x）|≤3恒成立，化简得[-4•2^x-(

1

2

)x]≤a≤[2•2^x-(

1

2

)x]．求得[-4•2^x-(

1

2

)x]的最大值和[2•2^x-(

1

2

)x]的最小值，可得a的范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=1+•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x ．
令t=•（

1

2

）^x ，由x＜0 可得t＞1，f（x）=h（t）=t²+t+1=(t+

1

2

)2+

3

4

，
∵h（t）在（1，+∞）上单调递增，故f（t）＞f（1）=3，故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
故函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数．
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，
则当x≥0时，|f（x）|≤3恒成立．
故有-3≤f（x）≤3，
即-4-(

1

4

)x≤a(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x，
∴[-4•2^x-(

1

2

)x]≤a≤[2•2^x-(

1

2

)x]．
求得[-4•2^x-(

1

2

)x]的最大值为-4-1=-5，[2•2^x-(

1

2

)x]的最小值为2-1=1，
故有-5≤a≤1，
即a的范围为[-5，1]．

点评：本题主要考查指数函数的性质、新定义，函数的恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．