Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}-1|，}&{x＜1}\\{\frac{lnx}{x}，}&{x≥1}\end{array}\right.$若方程f（x）=m恰有五个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，计算极值，作出f（x）的函数图象，根据图象得出m的范围．

解答 解：当x≥1时，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴当1≤x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
当x=e时，f（x）取得极大值f（e）=$\frac{1}{e}$．
作出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知当0$＜m＜\frac{1}{e}$时，方程f（x）=m有5个解，
故答案为（0，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查了函数单调性的判定，方程解与函数图象的关系，属于中档题．