Question

15．已知函数f（x）=2asin²x-2$\sqrt{3}$asinx•cosx+1在区间[0，$\frac{π}{2}$]的最大值为4，求实数a的值．

Answer 1

分析 利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，对a的正负讨论，求出f（x）的最大值，可得实数a的值．

解答 解：函数f（x）=2asin²x-2$\sqrt{3}$asinx•cosx+1
化简可得：f（x）=a-acos2x-$\sqrt{3}a$sin2x+1=a+1-2asin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{7π}{6}$．
当a＞0，2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$取得最大值为4，即a+1-2asin$\frac{7π}{6}$=4，
解得：a=$\frac{3}{2}$．
当a＜0，2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$取得最大值为4，即a+1-2asin$\frac{π}{2}$=4，
解得：a=-3
故得实数a的值$\frac{3}{2}$或-3．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．