Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+1）•{e}^{x}，x≤a}\\{bx-1，x＞a}\end{array}\right.$，若函数f（x）有最大值M，则M的取值范围是（　　）

• A． （$-\frac{1}{2}-\frac{1}{2{e}^{2}}$，0）
• B． （0，$\frac{1}{{e}^{2}}$]
• C． （0，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2{e}^{2}}$]
• D． （$\frac{1}{2{e}^{2}}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{e}^{2}}$]

Answer 1

分析 判断f（x）在（-∞，a]上的单调性，讨论a与-2的大小关系即可求出M的范围．

解答 解：若f（x）有最大值，显然f（x）在（a，+∞）不单调递增，故b≤0，且ab-1≤f（a），
当x≤a时，f（x）=-（x+1）e^x，
∴f′（x）=-（x+2）e^x，
令f′（x）=-（x+2）e^x=0，解得x=-2
∴当x＜-2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x＞-2时，f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，
当x=-2时，f（x）取得最大值f（-2）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴当a≥-2时，f（x）_max=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
当a＜-2时，f（x）_max=f（a），
又x→-∞时，f（x）→0，
∴0＜M≤$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故选B．

点评 本题考查了函数的单调性判断与极值计算，属于中档题．