Question

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n；
（Ⅱ）数列{a_n}从哪一项开始小于0？
（Ⅲ）设T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由于a_n+2-2a_n+1+a_n=0，可得数列{a_n}是等差数列，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）由a_n＜0，解得n即可得出．
（III）当n≤5时，a_n≥0．|a_n|=a_n．T_n=S_n即可得出．当n＞5时，a_n＜0．∴T_n=T₅-a₆-a₇-…-a_n=2T₅-S_n即可得出．

解答： 解：（I）∵数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0，
∴数列{a_n}是等差数列，设公差为d．
∴2=8+3d，解得d=-2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=8-2（n-1）=10-2n．
S_n=

n(8+10-2n)

2

=-n²+9n．
（II）由a_n=10-2n＜0，解得n＞5．
∴从第5项开始小于0．
（III）①当n≤5时，a_n≥0．
∴T_n=S_n=-n²+9n．
②当n＞5时，a_n＜0．
∴T_n=T₅-a₆-a₇-…-a_n=2T₅-S_n
=n²-9n+40．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值符号的数列求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．