Question

已知a，b，c均为大于-1的实数，且a+b+2c=1，设

a+1

+

b+1

+

c+1

的最大值为m，求不等式|

2

x|-m|x-3|＞0中x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：根据条件利用柯西不等式求得 (

a+1

+

b+1

+

c+1

)2≤

25

2

，可得m=

5 2

2

．不等式即|

2

x|-

5 2

2

|x-3|＞0，即|2x|＞5|x-3|，平方，解一元二次不等式，求得x的范围．

解答： 解：∵a+b+2c=1，∴(

a+1

+

b+1

+

c+1

)2=(

a+1

+

b+1

+

2

2

2c+2

)2≤（a+1+b+1+2c+2）（1+1+

1

2

）=

25

2

，
当且仅当a+1=b+1=c+1时，等号成立，故m=

25 2

=

5 2

2

．
不等式|

2

x|-m|x-3|＞0，即 不等式|

2

x|-

5 2

2

|x-3|＞0，即|2x|＞5|x-3|，
平方可得 21x²-150x+225＜0，求得

15

7

＜x＜5．

点评：本题主要考查柯西不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．