Question

6．已知AB是圆Γ₁：（x-2）²+y²=1的直径，P为椭圆Γ₂：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上一动点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围是[8，48]．

Answer 1

分析 求得圆心及半径，由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{MA}$-$\overrightarrow{MP}$）•（$\overrightarrow{MB}$-$\overrightarrow{MP}$）=-1+|$\overrightarrow{MP}$|²．设P点坐标，利用两点之间的距离公式，根据二次函数的单调性即可求得9≤|$\overrightarrow{MP}$|²≤49，即可求得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围．

解答 解：由圆Γ₁：（x-2）²+y²=1的圆心M（2，0），半径为1，
则∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{MA}$-$\overrightarrow{MP}$）•（$\overrightarrow{MB}$-$\overrightarrow{MP}$）
=$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$-$\overrightarrow{MP}$•（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）+$\overrightarrow{MP}$²=-|$\overrightarrow{MA}$|•|$\overrightarrow{MB}$|•cosπ-0+|$\overrightarrow{MP}$|²
=-1+|$\overrightarrow{MP}$|²．
椭圆Γ₂：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，设P（5cosθ，4sinθ），θ∈[0，2π]，
∴|$\overrightarrow{MP}$|²=（5cosθ-2）²+16sin²θ=25cos²θ-20cosθ+4+16sin²θ=9cos²θ-20cosθ+20，
设t=cosθ，t∈[-1，1]，f（t）=9t²-20t+20，t∈[-1，1]，
对称轴t=-$\frac{-20}{2×9}$=$\frac{10}{9}$＞1，
则f（t）在[-1，1]单调递减，则当t=-1时取最大值为f（t）_max=49，
当t=1时取最小值，最小值为f（t）_min=9，
9≤|$\overrightarrow{MP}$|²≤49，则8≤-1+|$\overrightarrow{MP}$|²≤48，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围[8，48]．
故答案为：[8，48]．

点评 本题考查向量数量积，椭圆的参数方程，两点之间的距离公式，二次函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．