Question

1．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosβ}\\{y=sinβ}\end{array}\right.$ （β为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4cosθ
（1）将C₁的方程化为普通方程，将C₂的方程化为直角坐标方程；
（2）已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （$\frac{π}{2}$＜α＜π，t为参数，且t≠0），l与C₁交于点A，l与C₂交于点B，且|AB|=$\sqrt{3}$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）利用参数方程与极坐标方程化简为普通方程即可．
（2）曲线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （$\frac{π}{2}$＜α＜π，t为参数，且t≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ₁=2cosα，|OB|=ρ₂=4cosα，利用|AB|=$\sqrt{3}$，即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosβ}\\{y=sinβ}\end{array}\right.$ （β为参数），可得普通方程为：（x-1）²+y²=1，
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4cosθ，
可得：x²+y²=4x．
（2）曲线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （$\frac{π}{2}$＜α＜π，t为参数，且t≠0），化为y=xtanα．
由题意可得：|OA|=ρ₁=2cosα，|OB|=ρ₂=4cosα，
∵|AB|=$\sqrt{3}$，
∴|OA|-|OB|=-2cosα=$\sqrt{3}$，即cosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴α=$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．