Question

11．已知函数f（x）=x²-2ax+1（a∈R）在[2，+∞）上单调递增，
（1）若函数y=f（2^x）有实数零点，求满足条件的实数a的集合A；
（2）若对于任意的a∈[1，2]时，不等式f（2^x+1）＞3f（2^x）+a恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由2^x＞0可知f（x）在（0，+∞）上有零点，根据二次函数的性质列出不等式组得出a的取值范围；
（2）化简不等式得（2^x+1-1）a+2^2x-2＞0，令g（a）=（2^x+1-1）a+2^2x-2（1≤a≤2），根据一次函数的性质列不等式组得出a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-2ax+1在a∈R单调递增区间是[a，+∞），
因为f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以a≤2；
令2^x=t（t＞0），则f（2^x）=f（t）=t²-2at+1（t＞0），
函数y=f（2^x）有实数零点，即：y=f（t）在（0，+∞）上有零点，
只需：$（\begin{array}{l}△=4{a^2}-4≥0\\ a＞0\\ f（0）＞0\end{array}\right.$，解得a≥1．
综上：1≤a≤2，∴A={a|1≤a≤2}．
（2）f（2^x+1）＞3f（2^x）+a化简得（2^x+1-1）a+2^2x-2＞0，
因为对于任意的a∈A时，不等式f（2^x+1）＞3f（2^x）+a恒成立，
即对于1≤a≤2不等式（2^x+1-1）a+2^2x-2＞0恒成立，
设g（a）=（2^x+1-1）a+2^2x-2（1≤a≤2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＞0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x+1}-1+{2}^{2x}-2＞0}\\{2（{2}^{x+1}-1）+{2}^{2x}-2＞0}\end{array}\right.$
∴解得2^x＞1，∴x＞0，
综上，满足条件的x的范围为（0，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题研究，属于中档题．