Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-bx （a，b∈R）．若y=f（x）图象上的点（1，-$\frac{11}{3}$）处的切线斜率为-4．
（1）求a、b的值；
（2）求y=f（x）的极大值；
（3）对?x∈[-2，3]，都有f（x）-k＜0，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（3）根据函数的单调性求出函数的最大值，从而求出k的范围即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=x²+2ax-b，
∴由题意可知：f′（1）=-4且f（1）=-$\frac{11}{3}$．
即$\left\{\begin{array}{l}{1+2a-b=-4}\\{\frac{1}{3}+a-b=-\frac{11}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（2）由（1）知：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，
f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=3．
由此可知，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴当x=-1时，f（x）取极大值$\frac{5}{3}$．
（3）由（2）知y=f（x）在（-2，-1）内是增函数，在（-1，3）内是减函数，所以函数的最大值为$\frac{5}{3}$，
∵对?x∈[-2，3]，都有f（x）-k＜0．
∴k＞$\frac{5}{3}$，∴k的取值范围为（$\frac{5}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．