Question

20．设F₁，F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{3}=1$的两个焦点，P是第一象限内该椭圆上一点，且$\frac{{sin∠P{F_1}{F_2}+sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠{F_1}P{F_2}}}=2$，则正数m的值为4或$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意，在△PF₁F₂中，由正弦定理可得$\frac{{sin∠P{F_1}{F_2}+sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠{F_1}P{F_2}}}$=$\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{2a}{2c}$=$\frac{a}{c}$=2，变形可得a=2c，结合双曲线的几何性质可得b²=a²-c²=$\frac{3}{4}$a²，进而分2种情况讨论椭圆焦点的位置，分别求出m的值，综合即可得答案．

解答 解：根据题意，在△PF₁F₂中，$\frac{{sin∠P{F_1}{F_2}+sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠{F_1}P{F_2}}}$=$\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{2a}{2c}$=$\frac{a}{c}$=2，
即a=2c，
则b²=a²-c²=$\frac{3}{4}$a²，
对于椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{3}=1$，分2种情况讨论椭圆的焦点的位置：
若椭圆的焦点在x轴上，有b²=$\frac{3}{4}$a²，则有3=$\frac{3}{4}$m，解可得m=4，
若椭圆的焦点在y轴上，有b²=$\frac{3}{4}$a²，则有m=$\frac{3}{4}$×3=$\frac{9}{4}$，
故m的值为4或$\frac{9}{4}$；
故答案为：4或$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查椭圆的几何性质，关键是由正弦定理分析a、c的关系，注意要对焦点为位置分情况讨论．