Question

已知函数f（x）=

1

3

x3-

1

2

ax2+2x+1（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设函数g（x）=e^x（e^x+a），x∈[0，ln2]，求g（x）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求导，再根据二次函数恒大于等于0，即△=a²-8≤0，解得即可．
（Ⅱ）先求导，再根据a的范围经行分类讨论，即可求出函数的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）求导得：f'（x）=x²-ax+2，
∵函数f（x）在R上单调递增
∴f'（x）≥0恒成立
即x²-ax+2≥0恒成立，于是△=a²-8≤0，
解得：-2

2

≤a≤2

2

，
故a的取值范围为[-2

2

，2

2

]，
（Ⅱ）求导得：g'（x）=e^x（2e^x+a），
由于0≤x≤ln2，
所以1≤e^x≤2，
即2≤2e^x≤4，
即a+2≤2e^x+a≤a+4，
由（Ⅰ）可知：-2

2

≤a≤2

2

，
于是a+4＞0
①当a+2≥0即-2≤a≤2

2

时，即g'（x）≥0，
此时函数g（x）在[0，ln2]上单调递增，所以g_min（x）=g（0）=1+a
②当a+2＜0＜a+4即-2

2

≤a＜-2时，
令g'（x）=0，即2e^x+a=0，解得x=ln(-

1

2

a)，
此时函数g（x）在[0，ln(-

1

2

a)]上单调递减，在[ln(-

1

2

a)，ln2]上单调递增
所以gmin(x)=g(ln(-

1

2

a))=-

1

2

a(-

1

2

a+a)=-

1

4

a2
综上所述：当-2≤a≤2

2

时，g_min（x）=1+a；当-2

2

≤a＜-2时，gmin(x)═-

1

4

a2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，确定函数的单调性是关键．