Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F₂（1，0）的直线l交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M、Q不重合），求证：直线MQ过x轴上一个定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）通过椭圆的离心率与焦距，求出a，c，得到b，即可求出椭圆C的方程；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），l：y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合MQ的方程为y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)，令y=0，化简求解可得x=2，说明直线MQ过x轴上一个定点．

解答： （本题满分（12分），第（1）问（3分），第（2）问9分）
解：（1）

c=1 c a = 2 2

⇒c=1，a=

2

，b=1，
所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；…（3分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），l：y=k（x-1），
代入

x2

2

+y2=1(y≠0)整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由韦达定理可得：x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，…（6分）
MQ的方程为y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)
令y=0，得x=x1+

y1(x2-x1)

y1+y2

=x1+

k(x1-1)(x2-x1)

k(x1+x2-2)

=

2x1x2-(x1+x2)

x1+x2-2

代入x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
x=

2x1x2-(x1+x2)

x1+x2-2

=

2× 2k2-2 1+2k2 - 4k2 1+2k2

4k2 1+2k2 -2

=2．
得x=2，所以直线过定点（2，0）…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．