Question

已知数列{a_n}满足：a_k-1+a_k+1≥2a_k（k=2，3，…）．
（Ⅰ）若a₁=2，a₂=5，a₄=11，求a₃的值；
（Ⅱ）若a₁=a₂₀₁₄=a，证明：a_k+1-a_k≥

ak+1-a

k

且a_k≤a，（k=1，2，…，2014）．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由a₁=2，a₂=5，a₄=11结合a_k-1+a_k+1≥2a_k得到a₃的值；
（Ⅱ）把a_k-1+a_k+1≥2a_k变形得a_k+1-a_k＞a_k-a_k-1，则有a₂₀₁₄-a₂₀₁₃≥a₂₀₁₃-a₂₀₁₂≥a₂₀₁₂-a₂₀₁₁≥…≥
a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1≥…≥a₃-a₂≥a₂-a₁，然后分段利用累加法即可得到ak+1-ak≥

ak+1-a

k

．把后k-1项累加后结合a₁=a₂₀₁₄=a可证得a_k≤a．

解答： （Ⅰ）解：由条件知：a_k+1≥2a_k-a_k-1，从而a₃≥2a₂-a₁=8，a₄≥2a₃-a₂≥11
又a₄=11，∴2a₃-a₂=11，a₃=8；
（Ⅱ）证明：由a_k-1+a_k+1≥2a_k，得a_k+1-a_k＞a_k-a_k-1，
则a₂₀₁₄-a₂₀₁₃≥a₂₀₁₃-a₂₀₁₂≥a₂₀₁₂-a₂₀₁₁≥…≥a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1≥…≥a₃-a₂≥a₂-a₁，
前2014-k项相加，得：a₂₀₁₄-a_k=a-a_k≥（2014-k）（a_k+1-a_k），
后k项相加，得：k（a_k+1-a_k）≥a_k+1-a₁=a_k+1-a．
从而ak+1-ak≥

ak+1-a

k

．
后k-1项相加，得：（k-1）（a_k-a_k-1）≥a_k-a₁．
从而，

a2014-ak

2014-k

≥ak+1-ak≥ak-ak-1≥

ak-a1

k-1

，
得（k-1）a₂₀₁₄-（k-1）a_k≥（2014-k）a_k-（2014-k）a₁，
即（k-1）a₂₀₁₄+（2014-k）a₁≥2013a_k．
∴ak≤

k-1

2013

a2014+

2014-k

2013

a1．
∵a₁=a₂₀₁₄=a，代入上式得：a_k≤a．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了累加法，考查了学生的灵活变形能力和逻辑推理能力，属中高档题．