Question

已知函数f（x）=

1

2x+1

+a是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）f（m²-2）+f（m）＞0，求m的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：

分析：本题（1）可以利用函数f（x）的奇偶性定义，得到参数a的值；
（2）将原函数进行变形，再利用指数函数的值域，求出原函数的值域；
（3）再对函数f（x）的单调性进行研究，从而将函数值问题转化为自变量大小的比较，再解不等式，得到本题的结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

1

2x+1

+a是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴

1

2-x+1

+a=-

1

2x+1

-a，
∴a=-

1

2

(

1

2x+1

+

1

2-x+1

)=-

1

2

，
∴a=-

1

2

．
（2）由（1）知：a=-

1

2

，
∴f（x）=

1

2x+1

-

1

2

．
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴-

1

2

＜

1

2x+1

-

1

2

＜

1

2

，
∴函数f（x）的值域为(-

1

2

，

1

2

)．
（3）∵f（x）=

1

2x+1

-

1

2

，
∴f（x）=

1

2x+1

-

1

2

在（-∞，+∞）上单调递减．
∵f（m²-2）+f（m）＞0，
∴f（m²-2）＞-f（m），
∴m²-2＜-m，
∴m²+m-2＜0，
∴-2＜x＜1．
∴m的取值范围是（-2，1）．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性及其应用，本题有一定的思维难度，属于中档题．