Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-（a+1）x+alnx+1
（Ⅰ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极大值；
（Ⅱ）求a的范围，使得f（x）≥1恒成立．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由于x=3是f（x）的极值点，则f′（3）=0求出a，进而求出f′（x）＞0得到函数的增区间，求出f′（x）＜0得到函数的减区间，即可得到函数的极大值；
（Ⅱ）由于f（x）≥1恒成立，即x＞0时，

1

2

x2-(a+1)x+alnx≥0恒成立，设g(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx，则g′(x)=x-(a+1)+

a

x

=

(x-1)(x-a)

x

分类讨论参数a，得到函数g（x）的最小值≥0，即可得到a的范围．

解答： 解：（1）f′(x)=x-(a+1)+

a

x

∵x=3是f（x）的极值点，∴f′(3)=3-(a+1)+

a

3

=0，解得a=3
当a=3时，f′(x)=

x2-4x+3

x

=

(x-1)(x-3)

x

，
当x变化时，

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

f（x）的极大值为f(1)=-

5

2

；
（2）要使得f（x）≥1恒成立，即x＞0时，

1

2

x2-(a+1)x+alnx≥0恒成立，
设g(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx，则g′(x)=x-(a+1)+

a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，
（ⅰ）当a≤0时，由g′（x）＜0得单减区间为（0，1），由g′（x）＞0得单增区间为（1，+∞），
故g(x)min=g(1)=-a-

1

2

≥0，得a≤-

1

2

；
（ ii）当0＜a＜1时，由g′（x）＜0得单减区间为（a，1），由g′（x）＞0得单增区间为（0，a），（1，+∞），
此时g(1)=-a-

1

2

＜0，∴不合题意；
（ iii）当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单增，此时g(1)=-a-

1

2

＜0，∴不合题意；
（ iv）当a＞1时，由g′（x）＜0得单减区间为（1，a），由g′（x）＞0得单增区间为（0，1），（a，+∞），
此时g(1)=-a-

1

2

＜0，∴不合题意．
综上所述：a≤-

1

2

时，f（x）≥1恒成立．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件．考查考生的运算、推导、判断能力．