Question

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的闰面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．
（I）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：计算题,证明题,转化思想,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（II）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC与平面ADEF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．

解答： 证明：（I）取DE中点N，连接MN，AN
在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN
又因为AN?平面ADEF，
且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．（4分）
（II）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），平面ADEF的一个法向量为

m

=（0，1，0）．
设

n

=（x，y，z）为平面BEC的一个法向量，因为

BC

=（-2，2，0），

CE

=（0，-4，2）
∴

-2x+2y=0  -4y+2z=0

令x=1，得y=1，z=2
所以

n

=（1，1，2）为平面BEC的一个法向量
设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ
则cosθ=

n • m

| n || m |

=

6

6

所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为余弦值为

6

6

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理