Question

汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
A型车

出租天数	1	2	3	4	5	6	7
车辆数	5	10	30	35	15	3	2

B型车

出租天数	1	2	3	4	5	6	7
车辆数	14	20	20	16	15	10	5

（ I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,互斥事件的概率加法公式,等可能事件的概率,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（Ⅱ）该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天分为以下三种情况：A型车1天B型车3天；A型车B型车都2天；A型车3天B型车1天，利用互斥事件和独立事件的概率计算公式即可得出；
（Ⅱ）从数学期望和方差分析即可得出结论．

解答： 解：（ I）∵出租天数为3天的汽车A型车有30辆，B型车20辆．从中随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率约为

30

30+20

=0.6．
（ II）设“事件A_i表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，
“事件B_j表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j=1，2，…，7．
则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
P（A₁B₃+A₂B₂+A₃B₁）=P（A₁B₃）+P（A₂B₂）+P（A₃B₁）          
=P（A₁）P（B₃）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₁）
=

5

100

×

20

100

+

10

100

×

20

100

+

30

100

×

14

100

      
=

9

125

．
该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为

9

125

．
（Ⅲ）设X为A型车出租的天数，则X的分布列为

X	1	2	3	4	5	6	7
P	0.05	0.10	0.30	0.35	0.15	0.03	0.02

设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为

Y	1	2	3	4	5	6	7
P	0.14	0.20	0.20	0.16	0.15	0.10	0.05

E（X）=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62．
E（Y）=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48．
 一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天．
从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差大于B型车出租天数的方差，综合分析，选择A类型的出租车更加合理．

点评：上来掌握古典概型的概率计算公式、互斥事件和独立事件的概率计算公式、数学期望和方差的计算公式和意义是解题的关键．