Question

5．已知二次函数f（x）满足f（2x）+f（x+1）=5x²-x+4；
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）+m=3x-1在区间（0，3）上总有两个不相等的实数根，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax²+bx+c，根据条件化简等式列出方程组，求出a、b、c的值，可得f（x）；
（2）由（1）化简方程f（x）+m=3x-1，将方程的根问题转化为：函数g（x）=x²$-\frac{10}{3}$x+$\frac{8}{3}$+m在（0，3）上总有两个不同的零点，根据二次函数的图象和条件列出不等式组，求出m的范围．

解答 解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（2x）+f（x+1）=5x²-x+4
∴4ax²+2bx+c+a（x+1）²+b（x+1）+c=5x²-x+4
则5ax²+3bx+a+b+2c=5x²-x+4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5a=5}\\{3b=-1}\\{a+b+2c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-\frac{1}{3}}\\{c=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²$-\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{3}$；
（2）由（1）得，方程f（x）+m=3x-1为x²$-\frac{10}{3}$x+$\frac{8}{3}$+m=0，
∵方程f（x）+m=3x-1在（0，3）上总有两个不相等的实数根，
∴函数g（x）=x²$-\frac{10}{3}$x+$\frac{8}{3}$+m在（0，3）上总有两个不同的零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={（-\frac{10}{3}）}^{2}-4×（\frac{8}{3}+m）＞0}\\{g（0）=\frac{8}{3}+m＞0}\\{g（3）=9-10+\frac{8}{3}+m＞0}\end{array}\right.$，解得$-\frac{5}{3}＜m＜-\frac{1}{9}$，
则实数m的范围是$（-\frac{5}{3}，-\frac{1}{9}）$．

点评 本题考查利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，以及方程的根与函数零点之间的转化，考查化简、计算能力，属于中档题．